POLIGONI REGOLARI

Come già sappiamo, un poligono si dice regolare quando ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali. Se tracciamo gli assi dei lati di un poligono regolare qualunque, ci accorgiamo che essi si incontrano tutti in uno stesso punto 0 (fig. 16); ciò significa che i vertici del poligono sono tutti equidistanti da 0. Esisterà quindi una circonferenza di centro 0 passante per tutti i vertici, che è la circonferenza circoscritta.

Se tracciamo poi le bisettrici degli angoli interni del poligono regolare, ci accorgeremo che esse si incontrano nello stesso punto 0, il quale risulta perciò equidistante dai lati del poligono (fig. 17). Esiste allora una circonferenza di centro 0 tangente a tutti i lati del poligono che è la circonferenza inscritta.

Il centro della circonferenza inscritta o circoscritta si dice centro del poligono, il raggio della circonferenza circoscritta è anche raggio del poligono, mentre il raggio della circonferenza inscritta funziona anche da apotema del poligono (fig. 18).

Congiungendo i vertici di un poligono regolare con il centro si ottengono tanti triangoli isosceli quanti sono i lati del poligono stesso (fig. 19). Questi triangoli hanno per base un lato del poligono (HA) e per altezza l’apotema (OL).

Costruzione di poligoni regolari

Per costruire un poligono regolare di n lati, basta dividere una circonferenza in n parti uguali; congiungendo ordinatamente i punti di divisione, si ottiene il poligono richiesto. Per eseguire tale costruzione sono necessari riga e compasso.

a – Costruzione del Quadrato
Per costruire il quadrato occorre dividere la circonferenza in quattro parti uguali. A tale scopo si tracciano due diametri perpendicolari AC e BD. Congiungendo i punti A, B, C, D, si ottiene un quadrato (fig. 20). Si può notare che l’apotema OH è uguale alla metà del lato del quadrato.

b – Costruzione dell’esagono regolare
Se uniamo il centro di un poligono. regolare con ciascuno dei suoi vertici; otteniamo tanti angoli al centro, tutti uguali, tanti quanti sono i lati del poligono.
Perciò: l’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente ad un lato di un poligono regolare è uguale a 360° diviso per il numero dei lati.
Di conseguenza, tale ampiezza è:
per il triangolo equilatero: 360° : 3 = 120° (fig. 21 a)
per il quadrato: 360° : 4 = 90° (fig. 21 b)
per il pentagono regolare: 360° : 5 = 72° (fig. 21 c)
per 1’esagono regolare: 360° : 6 = 60° (fig. 21 d).

Per costruire, quindi, un esagono regolare basterà disegnare una circonferenza di centro 0 e costruire col rapportatore l’angolo AÔB avente l’ampiezza di 60°. Il triangolo AOB è, in questo caso, un triangolo equilatero (fig. 22).
Quindi:
AB = OA = OB = r
Essendo l’angolo AÔB uguale alla sesta parte dell’angolo giro, l’arco corrispondente AB è la sesta parte della circonferenza e la corda AB che sottende tale arco, è il lato dell’esagono regolare inscritto.

Diremo perciò che: il lato dell’esagono regolare è uguale al raggio della circonferenza circoscritta.

Da quanto abbiamo appreso, è possibile costruire l’esagono regolare riportando sulla circonferenza di centro 0, a partire da un qualsiasi punto A, sei corde uguali al raggio (fig. 23). Esse sono i lati dell’esagono regolare.

c – Costruzione del triangolo equilatero
Per eseguire tale costruzione si divide una circonferenza di centro 0 in sei parti uguali e si congiungono alternativamente i punti di divisione. Le corde ottenute sono i lati del triangolo equilatero richiesto (fig. 24).
Si può facilmente constatare che l’apotema OH è uguale alla metà del raggio della circonferenza circoscritta.

Relazione tra lato e apotema di un poligono regolare

Il lato e l’apotema di un poligono regolare, sono strettamente connessi l’uno all’altro in modo che, se si conosce la lunghezza di uno di questi segmenti, deve essere possibile calcolare la lunghezza dell’altro. Abbiamo già notato, ad esempio, che l’apotema di un quadrato è uguale alla metà del lato, perciò, dato il lato di un quadrato, è possibile determinare la lunghezza dell’apotema, moltiplicando il lato per 0,5 (ciò equivale a dividere per due la lunghezza del lato). Viceversa, conoscendo la misura dell’apotema, si può calcolare la misura del lato, dividendo quella dell’apotema per 0,5.
In generale: la lunghezza dell’apotema di un poligono regolare si ottiene moltiplicando la lunghezza del lato per un numero fisso che dipende dal numero dei lati del poligono.

Se indichiamo con a la misura dell’apotema e con 1 e la misura del lato di un poligono regolare e con n il numero fisso, potremo scrivere le formule:

a = 1 · n

1 = a / n

Nella tabella qui sotto sono riportati i numeri fissi relativi ad alcuni poligoni regolari.