POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

Poligoni inscritti

Un poligono si dice inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici si trovano sulla circonferenza; viceversa la circonferenza si dice circoscritta al poligono (fig. 1).

Dato un pongono qualsiasi è sempre possibile trovare una circonferenza che passi per tutti i suoi vertici? Cioè, è sempre possibile inscrivere un poligono qualsiasi in una circonferenza? .
Disegniamo, ad esempio, un trapezio rettangolo (fig. 2) e cerchiamo di tracciare la circonferenza che passi per tutti i suoi vertici: potremo facilmente constatare che ciò non è possibile in quanto non esiste un punto, centro della circonferenza cercata, equidistante dai quattro vertici del trapezio.

Se tale punto esistesse, dovrebbe appartenere: all’asse della base maggiore, perché deve essere equidistante dagli estremi di questa, all’asse del lato obliquo, perché deve essere equidistante dagli estremi di tale lato, all’asse della base minore, perché deve essere equidistante dagli estremi di questa e all’asse del lato perpendicolare alle basi, perché deve essere equidistante dagli estremi di questo.
Quindi, dovendo appartenere contemporaneamente a tutti e quattro gli assi, deve essere il loro punto di incontro. Potremo facilmente constatare, osservando la figura 2, che nel trapezio rettangolo i quattro assi non si incontrano e che non esiste perciò il punto equidistante da tutti e quattro i vertici: il trapezio rettangolo non è quindi inscrivibile in una circonferenza.

Viceversa, se tutti gli assi dei lati di un poligono qualsiasi si incontrano in un punto, questo è il centro della circonferenza che contiene tutti i vertici del poligono e quindi il poligono è inscrivibile in una circonferenza (figg. 3 a, 3b).

Come già sappiamo, gli assi dei lati di un triangolo qualsiasi si incontrano in un punto detto circocentro. Perciò, un triangolo qualsiasi e sempre inscrivibile in una circonferenza (fig. 4).

Al contrario, non tutti i quadrilateri, come abbiamo già visto, si comportano come i triangoli: possiamo facilmente verificare che è possibile inscrivere in una circonferenza solamente il quadrato (fig. 5), il rettangolo (fig. 6), il trapezio isoscele (fig. 7) e tutti quei quadrilateri (fig. 8) in cui gli assi dei lati si incontrano in uno stesso punto, centro della circonferenza circoscritta.

Poligoni circoscritti

Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza stessa; viceversa, la circonferenza si dice inscritta nel poligono (fig. 9).

Evidentemente non tutti i poligoni si possono circoscrivere ad una circonferenza: si può dimostrare che un poligono può essere circoscritto ad una circonferenza solo se tutte le bisettrici dei suoi angoli interni si incontrano in uno stesso punto, equidistante da ciascuno dei lati, che è il centro della circonferenza alla quale sono tangenti i lati del poligono (fig. 10) ; tale punto viene chiamato incentro.

Poiché, come già sappiamo, le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in un punto, è evidente che tale figura geometrica è sempre circoscrittibile ad una circonferenza (fig. 11).

Un quadrilatero qualsiasi non sempre può essere circoscritto ad una circonferenza perché le bisettrici degli angoli non sempre concorrono tutte in uno stesso punto.

Ricapitolando, sono sempre circoscrivibili: il quadrato (fig. 12) come qualunque altro poligono regolare, il rom-bo (fig. 13) e tutti quei quadrilateri le cui bisettrici degli angoli interni concorrono in uno stesso punto equidistante da tutti e quattro i lati.

Da quanto abbiamo detto, si comprende facilmente come il rettangolo (fig. 14) e il parallelogrammo (fig. 15) non si possano circoscrivere ad una circonferenza.