COSTRUZIONE DELLA PARABOLA E IPERBOLE

PARABOLA

La parabola è una curva piana aperta: essa è il luogo geometrico dei punti che hanno uguale distanza da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa, detta direttrice. La congiungente il vertice con il fuoco si chiama asse.
Essa è una figura geometrica curvilinea simmetrica rispetto al proprio asse, si trova tutta al di sopra della direttrice e, come l’ellisse, si costruisce per punti.

1) Costruzione della parabola dato il fuoco e la direttrice (vedi fig. 10) – Tracciati la direttrice d e perpendicolarmente ad essa l’asse Ox, passante per il fuoco F, si determina il vertice della parabola nel punto medio del segmento OF.

Dopo il fuoco, si segnano, sull’asse, alcuni punti a piacere, l, 2, 3, . . . ecc. e per essi si conducono le perpendicolari all’asse Ox. Fatto centro in F, con raggio OF, si tracciano due archi che tagliano in A e A’ la perpendicolare per F; A ed A’ appartengono alla parabola.

Fatto sempre centro in F, con raggio O1, si tracciano due archi, che tagliano in altri due punti della parabola B e B’ la perpendicolare per il punto 1. Si prosegue in modo analogo per tutti i punti che si vogliono scegliere. Unendo con una linea continua i punti cosi determinati, si ottiene la parabola voluta.

2) Costruire la parabola per inviluppo di tangenti, dato l’asse, una tangente ed il punto di contatto P su di essa (vedi fig. 11) – Si traccia la tangente b simmetrica di’ a rispetto all’asse ed il punto Q di contatto su b, simmetrico di P.

Si dividono OP ed OQ in un egual numero di parti uguali, per esempio 15, e si uniscono come in figura, cioè in senso opposto, i punti corrispondenti come 1-1′; 2-2′; 3-3′; ecc.

Ciascuna congiungente i punti corrispondenti rappresenta una tangente dell’inviluppo ed ha naturalmente un sol punto in comune con la parabola.

IPERBOLE

L’iperbole è una curva piana aperta, luogo geometrico dei punti tali che la differenza delle distanze di ciascuno di essi da due punti fissi, detti fuochi, sia costante. La congiungente i vertici della iperbole si dice asse trasverso.

L’iperbole è una curva composta di due rami, che si prolungano all’infinito nella direzione della congiungente i fuochi, che si chiama asse della iperbole. Questa curva è simmetrica rispetto all’asse ed alla perpendicolare a questo condotta nel suo punto di mezzo.

Le rette tangenti all’iperbole nei suoi punti all’infinito sono gli asintoti. Essi si intersecano nel punto di mezzo dell’asse e sono simmetrici rispetto a questo. L‘iperbole si dice equilatera quando gli asintoti sono perpendicolari fra loro. Essa, come la parabola, si costruisce per punti.

1) Costruzione della iperbole assegnato l’asse trasverso ed i fuochi (vedi ﬁg. 12) – Tracciato l’asse trasverso V₁V₂ della iperbole e segnati sul prolungamento i fuochi F₁ ed F₂, con centro in O, punto medio del segmento V₁V₂, e raggio OF₁uguale ad OF₂, si traccia una circonferenza.
Si conducono per i punti V₁ e V₁ le perpendicolari all’asse; queste intersecano la circonferenza nei punti ABCD. Le due rette DB e AC, passanti per O, sono gli asintoti.

Sul prolungamento dell’asse trasverso V₁V₂ a partire da F₁ e da F₂ si riportano segmenti uguali in un numero qualsiasi (12, 23, 34… 1’2′.., 2’3′..,3’4″,…).

Facendo centro in F₁ e raggio V₁6′ si traccia un archetto di cerchio; con centro in F₂ e raggio V₂6′ si descrive un altro archetto di cerchio che intersechi quello precedente nel punto 6″; quest’ultimo è un punto della iperbole.

Ripetendo la medesima costruzione per gli altri punti dell’asse, si ottengono altrettanti punti della iperbole. Congiungendo questi con una linea continua con l’uso del curvilineo si ha 1’iperhole richiesta.