PROFILI CONIUGATI - CICLOIDE, EPICICLOIDE, IPOCICLOIDE, EVOLUTE, EVOLVENTI, SPIRALI

CENNI SUI PROFILI CONIUGATI

Le curve meccaniche o cicliche sono linee generate da un punto di una retta o figura piana che si sposta rotolando senza strisciare a contatto con una curva o con una figura geometrica fissa. In altri termini, le due figure geometriche debbono essere tangenti l’una all’altra nel centro di istantanea rotazione (1) e svilupparsi senza strisciamento reciproco.

Nel caso di moto piano, tali figure geometriche definiscono i profili coniugati; la traiettoria descritta da un punto di questi si chiama, nel linguaggio tecnico, linea meccanica o ciclica. Queste linee si applicano peril tracciamento dei profili delle ruote dentate.

Si riportano, tralasciando ogni definizione generica, notizie e priorità sulle più importanti curve di questo tipo.

I e I’ figure geometriche fisse (archi di cerchio) e le L figure geometriche mobili (circonferenze).
Un punto qualsiasi O solidale con la circonferenza L (nella figura 13 tale punto è stato scelto proprio coincidente col punto in cui la circonferenza L inizialmente tocca sia l’arco di cerchio l che l’altro l’) descrive nei due rotolamenti senza strisciamento, due archi C e C’ che sono due profili coniugati o, nel linguaggio tecnico, porzioni di curve meccaniche.

(1) Punto intorno al quale avviene la rotazione la cui posizione è variabile nel tempo; nella figura 13 è rappresentato dal punto O (centro istantaneo di rotazione).

Cicloide

La cicloide è una curva indefinita piana descritta da un punto, pensato rigidamente legato ad una circonferenza che rotoli senza strisciare su una retta (a).

(a) Retta e circonferenza stanno in uno stesso piano, la prima si chiama “base”, la seconda “rulletta”.

Un ramo di cicloide ha lunghezza uguale alla circonferenza rotolante, cioè 2πR, o πD.

La cicloide ha curvatura variabile da punto a punto e quindi è una linea che si ottiene per punti e non per archi di circonferenza. La circonferenza di dato diametro D si chiama circonferenza generatrice e definisce (con il suo diametro D) l’altezza e la lunghezza della cicloide.

Costruzione della cicloide, data la circonferenza rotolante di diametro D (vedi fig. 14) – Tracciata la circonferenza rotolante di raggio D/2 e di centro O, si conduca la tangente AB in A, su cui rotola la circonferenza. Si divide quest’ultima in un numero di parti uguali, ad esempio 12.
Si traccia il segmento AB uguale alla lunghezza di un ramo di cicloide e cioè πD; e lo si divide anche in 12 parti ottenendo i punti 1′, 2′, 3′….12′.
In tal modo non si ha che gli archi di circonferenza A1, 12, 23, …sono uguali ai segmenti A1′, 1’2′, 2’3′,….

Si tracciano per i punti 1, 2, 3….12 le parallele alla AB e per i punti 1′, 2′, 3′,….12′ le perpendicolari ad AB, che incontrano OO” nei punti 1″, 2″, 3″,….O”.
Questi ultimi punti individuano le posizioni successivamente occupate dal centro O della circonferenza generatrice durante il rotolamento.

Facendo centro rispettivamente in 1″, 2″, 3″….O”, e raggio D/2 si tracciano le circonferenze le quali intersecano nei punti C, D, E, F, G, H, …. M, le parallele alla AB condotte per i punti 1, 2, 3, ….12.

La cicloide si ottiene unendo i punti ottenuti con una linea continua. La curva si estende indefinitamente sia a sinistra che a destra, ed alla distanza di ogni ramo si ha un arco di cicloide uguale a quello ora tracciato.

EPicicloide

Costruzione della epicicloide, dati i raggi della circonferenza rotolante e di quella su cui rotola (vedi figura 15) – L’epicicloide è la curva piana descritta da un punto di una circonferenza, quando questa rotola senza strisciare su di una circonferenza, all’esterno, anziché su di una retta; e quindi invece di tracciare le rette parallele alla retta AB, si disegnano delle circonferenze concentriche con quella su cui avviene il rotolamento.
Il resto della costruzione è identico.
Ovviamente ad ogni rapporto dei raggi della circonferenza generatrice e di quella su cui rotola si ha una curva epicicloidale, il cui ramo è sotteso da un dato angolo.
Nel caso della figura 15 si ha r = R/5 e quindi un ramo di epicicloide è sotteso dall’angolo 360°/5 = 72°.

IPOCICLOIDE

Costruzione dell’ipocicloide, dati i raggi della circonferenza rotolante e di quella su cui rotola (vedi fig. 16) – L’ipocicloide è la curva piana descritta da un punto di una circonferenza, quando questa rotola senza strisciare su di una circonferenza fissa, all’interno di essa.

La costruzione e le osservazioni relative alla costruzione precedente valgono senza variazione all’infuori del tracciamento delle circonferenze concentriche, che in questo caso sono tracciate all’interno della circonferenza su cui avviene il rotolamento.

Nel caso della figura si ha come per l’epicicloide r = R/5 e quindi un ramo dell‘ipocicloide è sotteso dall’angolo 360°/5 = 72°.

Un caso interessante di questa costruzione si ha quando il rapporto r/R = 1/2 nel qual caso la curva dell’ipocicloide diviene un segmento di retta, coincidente con un diametro (vedi fig. 17).

Evolute ed evolventi

Si immagini di far corrispondere a ogni punto P di una linea il centro C di curvatura della linea in“ P (vedi fig, l8).
Il luogo del punto C è, comunemente, una linea l’, che si chiama evoluta o sviluppata di l, mentre questa chiamasi evolvente o sviluppante di l’.
Si comprende che vi sono dei casi di eccezione (per esempio se l è una circonferenza, il luogo dei punti C si riduce ad un unico punto, il centro).

Si può tracciare, quindi, l’evoluta di una linea l, per esempio: l’evoluta della cicloide, dell’ellìsse, del cerchio,
ecc. Da tenere presente che una linea l ha una sola evoluta, ma viceversa un’evoluta può essere generata, in generale, da inﬁnite evolventi.

Per chiarire quanto detto basta pensare al caso del cerchio. Come già detto l’evoluta del cerchio è un punto, il centro, ma questo è anche centro di infinite circonferenze, appunto concentriche.

Costruzione dell’evolvente del cerchio (vedi ﬁg. 19) – La evolvente del cerchio è una curva piana, indefinita, generata da un punto di una retta che rotola, senza strisciare, su una circonferenza data.

La evolvente si compone di infinite spire, le quali distano radialmente l’una dall’altra di una lunghezza uguale allo sviluppo della circonferenza: questa prende il nome di deferente.

Questa curva è particolarmente importante perché trova applicazione nel disegno dei fianchi dei denti delle ruote dentate, i quali vengono sagomati secondo archi di evolvente. In pratica l’evolvente si costruisce come segue: tracciata la circonferenza, dato il diametro, la si divide in un numero a piacere di parti uguali, per esempio 16, e si tracciano i raggi relativi ai punti di divisione (vedi fig. 19).

Nei punti l, 2, 3…. della circonferenza si conducono le tangenti. Fatto centro nel punto 1, con raggio uguale alla lunghezza dell’arco 1P, si traccia l’arco PA.
Centrando in 2, con raggio uguale alla lunghezza dell’arco 2A, si traccia l’arco AB.

Così, facendo centro in 3 e raggio uguale all’arco 3B, si traccia BC.

Analogamente si tracciano gli archi CD, DE, EF, FG, ecc. ottenendosi così l’evolvente richiesta.
La lunghezza degli archi analiticamente si ottiene con la formula

sostituendo a D il valore del diametro della circonferenza e ad n rispettivamente i valori 12, 13, 14, …. relativi ai punti 2, 3, ecc.

Spirali

Le spirali sono linee piane aventi curvatura variabile da punto a punto. Esse sono formate da inﬁnite spire e le più notevoli sono: la Spirale di Archimede, la spirale logaritmica, la spirale iperbolica.

Spirale di Archimede – Essa può essere generata da un punto che si muove con velocità costante, partendo da un punto O, su di una semiretta g del piano, mentre g ruota uniformemente nel piano intorno ad O (*).
Deriva da quanto detto che il segmento determinato sopra un generico raggio uscente da O da due spire consecutive della spirale di Archimede ha lunghezza costante e si definisce passo.
Nelle altre spirali generalmente il passo può non essere costante.

(*) Siano g₁, g₂, g₃, g₄, g_n le successive posizioni della retta g e P₁P₂….P_nquelle del suo punto O il luogo dei punti P rappresenta la curva richiesta.

1) Costruire la spirale di Archimede dato il passo (vedi fig. 20) – Si traccia una circonferenza di raggio OK,
uguale al passo assegnato. Si dividono circonferenza e passo in uno stesso numero di parti uguali, per esempio 12.
Centrando in O con raggio O1, si traccia un arco 1A, determinando un primo punto A della spirale sul raggio O1′.
Analogamente si procede per i punti 2, 3, 4, ecc., individuando altrettanti punti E, C, D, ecc. della spirale.

Con l’ausilio di un curvilineo si uniscono con una linea continua i punti della spirale così avuti. Nel caso della figura si è tracciata una sola spira della spirale di Archimede.

La spirale di Archimede trova diverse applicazioni nel campo tecnico ed anche nel campo matematico, come già abbiamo visto nel problema della trisezione di un angolo qualsiasi nel capitolo delle operazioni grafiche relative agli angoli.

2) Spirale formata da semicirconferenza, dato il passo (vedi fig. 21) – Il diametro della semicirconferenza più piccola è uguale al passo dato. I centri delle circonferenze sono alternativamente i punti l, 2, ecc. Si possono così tracciare quante spire si vogliono della spirale.

3) Spirale formata da archi di un terzo di circonferenza, dato il passo (vedi fig. 22) – Si costruisce il triangolo equilatero con il lato uguale ad un terzo della misura del passo dato. I vertici di esso, l, 2, 3, sono successivamente centri degli archi di circonferenza 3-M, M-N, N-O, i quali terminano sui prolungamenti dei lati del triangolo equilatero.
Centrando in l, 2, 3 e raggi 1-O, 2P, ecc. si ottengono gli archi della spira successiva.

4) Spirale formata da archi di un quarto di circonferenza, dato il passo (vedi fig. 23) – Si costruisce un quadrato con il lato uguale ad un quarto della misura del passo dato. Si prolungano i lati del quadrato come in figura. Centrando successivamente nei punti 1, 2, 3, 4, vertici del quadrato, con procedimento analogo alla costruzione precedente si traccia la spirale; chiaramente possiamo avere spirali con centri in numero qualsiasi, purché si disegni un poligono il cui perimetro sia uguale al passo e avente un numero di centri stabiliti.

Le ultime tre costruzioni di spirali sono approssimate in quanto costruite mediante archi di cerchio i quali non coincidono con la linea effettiva della spirale la quale, come si è detto al principio del paragrafo, è a curvatura variabile da punto a punto.

La costruzione della spirale di Archimede, pocanzi descritta, è l’unica eseguita per punti e quindi la più prossima alla effettiva.

Queste curve trovano notevoli applicazioni nelle sagomature di organi meccanici.