COSTRUZIONI GEOMETRICHE

In questo capitolo vengono prese in considerazione quelle costruzioni geometriche che, oltre a trovare effettive applicazioni interessanti i successivi corsi di specializzazione, hanno un carattere particolarmente formativo, quindi aliene, dal punto di vista didattico, da quel difetto manualistico, frequente nell’insegnamento del disegno.

* * *

Operazioni grafiche relative ai segmenti

1) Condurre la perpendicolare (*) ad una retta da un punto esterno ad essa (vedi fig. 1) – Sia C il punto ed r la retta. Si centri in C, con apertura di compasso maggiore della distanza di C da r, si taglia la retta r in D e E. Facendo centro successivamente in D ed E con una stessa apertura di compasso maggiore della metà di DE si tracciano due archi che si tagliano in F. Tracciando la retta che passa per C ed F si ha la perpendicolare richiesta.

(*) Si definisce perpendicolare o ortogonale o normale quella retta che, incontrando un’altra alla quale si riferisce, forma con questa quattro angoli uguali detti retti.

2) Tracciare la perpendicolare ad una retta per un punto C appartenente alla retta data (vedi fig. 2) – Sia C il punto ed r la retta. Fatto centro in C, con apertura di compasso a piacere, si traccia la semicirconferenza 1-2. Centrando successivamente in 1 e 2, con un’apertura di compasso maggiore della metà di 1-2; si tracciano due archi di circonferenza che si tagliano in A.
La retta passante per C e per A è la perpendicolare proposta.

3) Divisione di un segmento in due parti uguali e costruzione dell’asse del medesimo segmento (vedi fig. 3) – Sia AB il segmento di cui si vuole l’asse, il quale, incontrandolo, lo divide a metà. Fatto centro rispettivamente in A e B, con una stessa apertura di compasso, maggiore di AB/2, si tracciano per ciascuno dei due centri due archi di circonferenza che si tagliano in C e D. La congiungente questi punti è l’asse voluto.

4) Divisione di un segmento in un numero qualsiasi di parti (nel nostro caso n = 7) (vedi ﬁg. 4) – Sia AB il segmento che si vuole dividere ad esempio in 7 parti uguali. Per l’estremo A si conduce una semiretta r comunque inclinata rispetto al segmento AB. Si riportano sulla semiretta r, a partire da A, 7 segmenti A-1, 1-2, 2-3, ecc. uguali ad una prescelta unità di misura. Si congiunge il punto 7 col punto B e dagli altri punti di divisione 1, 2, 3, ecc. si conducono successivamente le parallele al segmento 7B. Queste parallele tagliano il segmento AB assegnato nei punti 1′, 2′, 3′, 4′, ecc. che sono i punti di di visione cercati.

5) Divisione di un segmento in parti direttamente proporzionali a due o più segmenti (vedi fig. 5) – Sia AB il segmento dato ed a, b, c, segmenti secondo i quali si vuole dividere proporzionalmente il segmento AB. Dall’estremo A del segmento si conduce una semiretta m con inclinazione a piacere. Su questa, a partire da A si riportano consecutivamente i segmenti a, b, c, determinando i punti C, D ed E. Si congiunge E con B e dagli estremi D e C si tracciano delle parallele al segmento EB.
Il segmento AB resta diviso nei segmenti a₁, b₁ e c₁ delimitati rispettivamente dai punti AC₁, C₁D e D₁B, tali che:
a₁/ a = b₁ / b = c₁/ c = c

6) Determinazione grafica del medio proporzionale fra due segmenti dati (vedi fig. 6) – Su di una retta r si staccano due segmenti m ed n delimitati dai punti A, C e B. Centrando in O, punto medio di AB e con raggio uguale ad AO, si traccia la semicirconferenza. Dal punto C si innalza la normale ad AB che incontra la semicirconferenza in D; il segmento CD è medio proporzionale fra i segmenti dati m ed n (Per il secondo teorema di Euclide AC : CD = CD : CB che si può scrivere CD = AC x CB).

* * *

Operazioni grafiche relative agli angoli

1) Costruire un angolo uguale ad un angolo assegnato(vedi fig. 7).

a – Sia dato l’angolo ABC. Fatto centro in B, vertice dell’angolo dato, con raggio a piacere, si traccia l’arco, di circonferenza NM. Tracciato il segmento EF, fatto centro in E, con lo stesso raggio dell’arco MN precedentemente scelto, si traccia l‘arco PO; si fa poi un’apertura di compasso uguale al segmento NM e fatto centro in O si taglia l’arco tracciato in P; congiungendo P con E si ottiene l’angolo DEF uguale a quello dato.
b – Chiaramente lo stesso procedimento vale nel caso di un angolo ottuso.

2) Eseguire la somma di due angoli (vedi fig. 8) – Siano dati i due angoli A₁O₁B₁ ed A₂O₂B₂ di cui si vuole la somma. Si traccia la semiretta r e si applica due volte successivamente la costruzione precedente, portando, uno consecutivo all’altro, i due angoli. L’angolo COA è la somma. L’angolo somma COA non varia al variare dell’ordine con cui si riportano gli angoli addendi.

3) Somma di tre o più angoli (vedi fig. 9) – Per la costruzione vale quella del numero precedente e l’ordine che si è seguito nella somma è quello indicato nella figura 9.

4) Condurre la perpendicolare ad un estremo di un segmento dato (vedi fig. 10).

a- Sia AB il segmento e per A si vuole condurre la perpendicolare. Si fa centro in A e con apertura di compasso a piacere si traccia un arco di circonferenza 1-2.
Con la stessa apertura di compasso,. fatto centro in 1, si traccia l’arco che incontrerà in 2 il precedente; si traccia la congiungente 1-2, prolungandola verso l’alto. Fatto centro in 2, con raggio 2-1, si traccia l’arco passante per A, che incontrerà la semiretta 1-2 nel punto 3. Congiungendo A con 3 si ha la perpendicolare richiesta (l’angolo 3AB è retto perchè iscritto in mezza circonferenza).

b- Con centro in A e con apertura di compasso a piacere si traccia un arco che taglia il segmento nel punto 1. Successivamente, sempre con la stessa apertura di compasso, si descrivono gli archi per trova nei punti 2, 3 e 4. La congiungente A con 4 è la perpendicolare cercata (vedi fig. 11).

5) Costruzione delia bisettrice di un angolo (vedi fig. 11) – Sia AVB l’angolo dato formato dalle due semirette m ed n. Si centra nel vertice V e con apertura di compasso a piacere si traccia l’arco di circonferenza AB. Si centra rispettivamente in A e B, e si tracciano due archi di cerchio con lo stesso raggio a piacere, che si tagliano in C; la semiretta passante per C e V risolve il problema proposto.

6) Divisione .di un angolo in quattro parti uguali (vedi fig.12) – Sia AVB l’angolo dato da dividere in quattro parti uguali. Si applica tre volte successivamente la costruzione della bisettrice di un angolo.

7) Costruzione della bisettrice di un angolo avente il vertice inaccessibile (vedi fig. 13) – Questo caso si presenta quando le due rette m ed n non s’incontrano nel foglio di disegno. Si fa centro in due punti A e B, rispettivamente sulle rette m ed n, e si tracciano due semicirconferenze con uno stesso raggio preso a piacere.

Si traccia la congiungente A-B che incontra le due semicirconferenze nei punti T e Q. Applicando la costruzione n. 5 si tracciano le bisettrici degli angoli UAT, QBS, PAT, RBQ. La retta che passa per i punti C e D di intersezione delle bisettrici risolve il problema.

8) Divisione di un angolo in tre o più parti uguali (metodo approssimato) (vedi fig. 14) – Dato l’angolo DBE e tracciato l’arco di circonferenza DE con raggio a piacere dal vertice B, ai uniscono i punti D ed E con la corda DE e da E si traccia la retta EH sulla quale si porterà tre volte una misura E-1 presa a piacere.
Si congiunge 3 con D e dai punti 2 e 1 della retta EH si tracciano le parallele alla 3-D fino all’incontro della corda ED nei punti 2′ ed 1′.
Le rette indefinite che congiungono B con 1′ e 2′ dividono l’angolo dato in tre parti uguali. Ovviamente la costruzione resta valida se invece che in tre parti l’angolo lo si vuole dividere in n parti uguali.

9) Trisezione di un angolo retto dato (vedi fig. 15) – Nel caso che le semirette m ed n formino un angolo retto, la costruzione per dividerlo in tre parti uguali si semplifica rispetto alla costruzione precedente.

Si fa centro nel vertice V, con apertura di compasso a piacere si traccia l’arco DE. Facendo centro in E ed in D sempre con la stessa apertura di compasso, si taglia l’arco DE nei punti F e G. Congiungendo il vertice V dell’angolo dato con i punti F e G si ottengono le due semirette FV e GV che risolvono il problema.

10) Divisione di angoli in cinque o più parti uguali (metodo esatto) – Si impiega come curva ausiliaria una spirale di Archimede disegnata su carta millimetrata trasparente (vedi fig. 16).

Costruzione della spirale di Archimede – Dividere il raggio r e l’angolo giro di 360° in n parti uguali. A partire dai punti 1, 2, 3, 4,… e con centro in O tracciare degli archi di cerchio fino ad intersecare in a, b, c, d, e, f,… i corrispondenti raggi 1, 2, 3, 4… I punti a, b, c, d, e, f, appartengono alla spirale di Archimede. Detta costruzione viene riportata in nel capitolo SPIRALI.

Dati: angolo ACB da dividere in 5 parti di uguale ampiezza (vedi fig. 17). – Eccone la soluzione. Sovrapporre orizzontalmente la spirale al lato BC dell’angolo i cui lati AC e BC vengono intersecati in V e in B.

Con Centro nel vertice C tracciare l’arco di cerchio VC5 che interseca in 5 il lato BC; diviso B5 in 5 parti uguali, tracciare da 1, 2, 3, 4 degli archi di cerchio che. intersecano la spirale nei punti I, II, III, IV,… I segmenti CI, CII, CIII, CIV, dividono l’angolo ACB dato in cinque parti uguali.

Questo metodo consente anche la trisezione di un angolo.

11) Trisezione di un angolo piatto dato (vedi fig. 18) – Nel caso che le semirette m ed n formino l’angolo piatto con vertice nel punto V, si applica la stessa costruzione del numero precedente. Tracciata, centrando in V, la semicirconferenza di raggio a piacere, si centra rispettivamente nel punto 1 e 2, con lo stesso raggio, per tracciare gli archi VC e VD, i quali tagliano la semicirconferenza in C e D. Le congiungenti tali punti con V risolvono il problema.

12) Dividere un angolo dato ABC in un numero determinato di parti uguali (vedi fig. 19) (ad esempio in 5 parti, metodo approssimato) – Si faccia centro nel punto B e con raggio a piacere si tracci l’arco DE.

Si uniscono questi punti con la corda DE, e da E si traccia la retta EH di inclinazione a piacere rispetto alla DE, e da questa si porterà cinque volte una misura scelta a piacere.
Si congiunga il punto 5 con D e dai punti 4, 3, 2 ed 1 della retta EH si tracciano a parallele alla 5D fino ad incontrare la corda DE nei punti 4′, 3′, 2′ ed 1′.
Le rette che congiungono B con l’, 2′, 3′ e 4′ dividono l’angolo dato in cinque parti.
Come si vede questo esercizio è un’applicazione di una costruzione già trattata nei paragrafi precedenti.

13) Data una retta condurre ad essa una parallela (vedi fig. 20) – Sia m la retta. Scelti a piacere su di essa due punti A e B si traccino due archi di cerchio con lo stesso raggio, facendo rispettivamente centro in A e B; centrando sempre in A e B e fis
‘. sato ancora un raggio a piacere s’intersecano i due
archi precedentemente avuti nei punti C e D.
La congiungente CD è parallela ad m.

14) Condurre una parallela ad una retta per un punto (vedi fig. 21) – Sia m la retta e C il punto. Si fa centro in B e raggio BC si descrive un arco che taglia la retta m nel punto A. Con lo stesso raggio si fa centro in C e si descrive un arco di circonferenza in senso opposto al primo.
Con centro in B e apertura di compasso uguale ad AC si taglia l’arco descritto nel punto D.
La retta che passa per C e D è parallela ad m.

15) Condurre una parallela ad una retta ad una data distanza (vedi fig. 22) – Sia m la retta data e d la distanza. In due punti qualsiasi O ed O’ della retta m si conducano le perpendicolari con la costruzione già
vista. Centrando rispettivamente in O e O’ con un’apertura di compasso uguale alla distanza ci si tracciano due archi che tagliano le perpendicolari nei punti C e D.
Congiungendo questi due punti si ha la parallela richiesta.

* * *

Ogerazioni grafiche relative agli archi

16) Rettificare un arco di circonferenza di dato centro (vedi ﬁg. 23) – Si traccia la corda AB dell’arco di circonferenza e la si divide in tre parti uguali.

Si congiunge il centro O dell’arco con il punto 1 di divisione della. corda fino toccare l’arco nel punto D; da A si conduce una parallela al segmento OD; si unisce B con D fino ad incontrare la parallela tracciata nel punto E. Il segmento BE è lo sviluppo pratico dell’arco dato.

Pur essendo una costruzione che offre un risultato approssimato, è di uso frequente nelle applicazioni, dato che l’errore che si commette è di poche unità per cento, qualora l’arco da rettificare abbia una ampiezza modesta.

17) Tracciare un arco di circonferenza di raggio dato e di lunghezza uguale ad un segmento m (vedi fig. 24) – Tracciare un aree di circonferenza con il raggio dato R, e dall’estremo A di esso, con apertura di compasso uguale ai 2/3 di m, si trovi il punto B.

Si unisce O con B e si traccia la retta AB; su di essa si porta un segmento AC uguale ad m e dal punto C si conclude la parallela ad OB fino a toccare l’arco nel punto D. In tal modo si è determinato l’arco AD richiesto. Tale ricerca è approssimativa, e vale per archi di circonferenza non molto ampi.

18) Determinare il centro della circonferenza che passa per tre punti non allineati (vedi fig. 25) – Assegnati i tre punti A, B e C, si unisce il punto A con B e il punto B con C.

Si tracciano le perpendicolari nel punto medio, cioè gli assi dei segmenti AB e BC (vedere la costruzione n. 3); il punto d’incontro O degli assi è equidistante dai tre punti A, B e C.
Con centro in O e raggio R = OA = OB = OC, si traccia la circonferenza richiesta.