COSTRUZIONI DI POLIGONI

l) Costruire un triangolo equilatero di lato assegnato 1 = m (vedi fig. 26) — Si disegna la base CD del triangolo uguale al lato assegnato m. Con apertura di compasso uguale a m facendo centro rispettivamente in C e D, si tracciano due archi di circonferenza che si tagliano in E. Congiungendo E con C e con D si ottiene un triangolo equilatero. Il triangolo equilatero ha i tre lati ed i tre angoli uguali.

2) Costruire un triangolo isoscele, data la base m ed il lato 1 = n (vedi fig. 27). Si disegna la base CD uguale ad m. Con apertura di compasso pari al lato 1 = n facendo centro rispettivamente in C e D, si tracciano due archi, che si tagliano in E. Congiungendo E con i punti C e D si ottiene il triangolo isoscele.
Il triangolo isoscele ha due lati e due angoli uguali.

3) Costruire un triangolo scaleno dati i tre lati (vedi fig. 28).

a – Assegnati i tre lati, m, n e p del triangolo si disegna la base CD uguale a m. Fatto centro in C con raggio uguale al lato n ed in D con raggio uguale all’altro lato p, si tracciano due archi di circonferenza che si taglia
no in E. Congiungendo E con i punti C e D si ottiene il triangolo proposto.
b – Invertendo i lati del triangolo scaleno si ottengono due triangoli specularmente uguali.

Il problema geometrico, assegnati i lati costruire il triangolo scaleno, è risolto da ambedue le soluzioni (vedere a fianco caso b). Il triangolo scaleno ha i tre lati ed i tre angoli disuguali.

4) Costruzione un triangolo rettangolo dato un cateto e l’ipotenusa (vedi fig. 29) – Siano assegnati un cateto m e l’ipòtenusa n, tracciato il segmento CD uguale all’ipotenusa n, determinato il punto di mezzo O di CD, si traccia una semicirconferenza di diametro CD.

Fatto centro in C con raggio uguale al cateto m si traccia un arco che taglia in E la semicirconferenza. Si unisce E con gli estremi dell’ipotenusa CD, e si ha il triangolo CED rettangolo in E.

Come nella costruzione precedente del triangolo scaleno, anche in questo caso esistono due soluzioni del problema, cioè due triangoli rettangoli specularmente uguali.

5) Costruire un quadrato dato il suo lato (vedi fig. 30) – Si disegna il segmento CD uguale al lato dato m.

Si conduce la perpendicolare nel suo estremo C. Fatto centro in C con apertura di compasso uguale al lato m si interseca in E la perpendicolare. Centrando successivamente in E e in D, sempre con l’apertura di compasso uguale al lato m, si tracciano due archi di circonferenza che si tagliano in F.
Congiungendo F con D ed E si ha il quadrato richiesto.

6) Costruire il rettangolo date la base e la diagonale (vedi ﬁg. 31) – Si traccia un segmento CD uguale alla base assegnata m.

Dal suo estremo D s’innalza, la perpendicolare secondo la costruzione già vista. Si fa centro in C e raggio uguale alla diagonale data n si taglia detta perpendicolare nel punto E; da questo punto si conduce la parallela secondo la costruzione considerata precedentemente al segmento CD e dal punto C la parallela al segmento DE.
Nel punto di incontro di questo si ha il quarto vertice F del rettangolo richiesto.

7) Costruire il trapezio rettangolo date le basi e l’altezzza (vedi fig. 32) – Sia m la base maggiore, n la base minore ed h l’altezza.

Si tracci il segmento CD uguale ad m: s’innalzi la perpendicolare dal suo punto D e su di essa si riporti la misura h dell’altezza del trapezio. Dal punto E si conduce un segmento parallelo 8.
CD e si stacca su questo a partire da E (estremo dell’altezza) la misura della base minore, determinando il punto F che, unito con C, chiude il trapezio voluto.

8) Costruire il rombo date le diagonali (vedi fig. 33) – Siano m ed n le diagonali del rombo.

Si traccia un segmento CD uguale ad m e nel suo punto di mezzo si innalza una perpendicolare (vedere costruzione dell’asse di un segmento), sulla quale si staccano due segmenti OE ed OF uguali ad n/2.
Unendo i punti CEDF si ottiene il rombo voluto.

9) Costruire il pentagono regolare dato il lato I (vedi fig. 34) – Su una retta m si riporta da A in B la lunghezza del lato dato I, da B si innalza la perpendicolare BH uguale al lato stesso, dal punto C posto sulla metà del lato AB, con raggio CH si descrive un arco che taglierà il prolungamento della AB in D.

Con raggio AD e centro in A e B si ottiene l’intersezione E; successivamente con centro in E, A, B, con raggio uguale al lato I si otterranno le intersezioni F e G. Unendo i punti trovati si costruisce il pentagono regolare.
Un poligono si dice regolare quando ha tutti i lati e gli angoli uguali.

10) Costruire l’esagono regolare dato il lato (vedi fig. 35) – Tracciato il Segmento AB uguale ad I si centra in A, con raggio AB si descrive un arco di circonferenza; si ripete l’operazione centrando in B.

Il punto d’intersezioné dei due archi descritti, O, è il centro della circonferenza circoscritta all’esagono; essa incontrerà i due archi prima descritti in C ed in F. Centrando in tali punti, sempre con la stessa apertura di compasso, si fissano sulla circonferenza i punti E, D, vertici degli altri lati.

11) Costruire l’ettagono regolare dato il lato (vedi fig. 36) – Tracciato AB uguale al lato dato e prolungato dalla parte di B di un segmento BC uguale ad I, con centro in A e raggio AC si descrive un arco che taglia in D la perpendicolare innalzata dall’estremità B.
Si divide per metà l’arco DC: AE taglierà in F la perpendicolare BD.

Centrando in A ed in B con raggio AF si descrivono due archi, il loro punto di intersezione O è il centro della circonferenza circoscritta al poligono richiesto; riportando consecutivamente su di essa la misura del lato, si ottengono i vertici dell’ottagono.

12) Costruire l’ottagono regolare dato il lato (vedi fig. 37) – Tracciato il segmento AB uguale ad I, si innalza la perpendicolare ad esso dal suo punto medio e si descrive la semicirconferenza di diametro AB la quale incontrerà la perpendicolare in N.

Si porta la corda AN da N in O e si descrive la circonferenza circoscritta con centro in O e raggio OA sulla quale si riporterà successivamente partendo da B il segmento dato.

13) Costruire un poligono regolare di un numero qualunque di lati dato il lato (vedi fig. 38) – Si divide una circonferenza, descritta con raggio a piacere, nel numero di parti corrispondente ai lati del poligono richiesto e si tracciano delle semirette uscenti da O e passanti per le suddivisioni come è indicato nella figura.

Da 1 ad A, passando per 2, si porta la misura del lato dato e da A si traccia la parallela alla semiretta O1 sino ad incontrare in B la O2. Si descrive una circonferenza di raggio OB; l’incontro delle semirette precedentemente tracciate, con questa seconda circonferenza, darà i vertici del poligono richiesto.

14) Dividere una circonferenza in tre parti uguali ed inscrivervi un triangolo equilatero (vedi fig. 39) – Tracciato il diametro CD, con una apertura di compasso uguale al raggio, centrando in D, si descrive un arco che taglia la circonferenza in A e B; unendo fra loro i punti A, B, C si otterrà il triangolo equilatero.

15) Inscrivere in una circonferenza data l’esagono regolare (vedi fig. 40) – Si opera come nell’esercizio precedente descrivendo, con centro in C e D, due archi di raggio uguale a quello della circonferenza; unendo fra di Idro i punti ottenuti risulterà l’esagono regolare inscritto.

16) Inscrivere in una circonferenza data un quadrato ed un ottagono (vedi fig. 41) – Si ottiene. il quadrato unendo i punti estremi dei due diametri perpendicolari AB e CD.
Per costruire l’ottagono si tracciano le mediane del quadrato, le quali intersecheranno la circonferenza nei punti E, F, G, H che saranno uniti ad A, B, C, D.

17) Inscrivere in una circonferenza data un pentagono e un decagono regolare (vedi fig. 42) – Sulla metà del raggio OB si fissa il punto E.

Si descrive una circonferenza di raggio EB e si collega E con D. Con centro in D e con raggio DF si descrive un arco che intersecherà la circonferenza in G ed H.
GH è il lato del pentagono regolare inscritto e DH è ‘il lato del decagono.

18) Costruire un ettagono regolare. inscritto in una circonferenza data (vedi fig. 43) – Tracciato il diametro AB, con apertura di compasso uguale al raggio e centro in B si descrive l’arco CD.

Tracciata la corda CD essa intersecherà in E il diametro. La lunghezza del segmento CE è il lato dell’ettagono regolare inscritto. Riportando la misura di CE consecutivamente sulla circonferenza e riunendo i punti trovati fra di loro si costruisce l’ettagono.

19) Costruire un poligono di n lati regolare, inscritto in una circonferenza data (vedi fig. 44).

a – Caso che n sia dispari (per esempio uguale a 7). Si tracci il diametro AB della circonferenza e lo si divida in 7 parti uguali. Facendo centro in A e in B, con apertura di compasso uguale al diametro AB si tracciano due archi di circonferenza, che si tagliano in C e D.
Conducendo da C e da D le semirette che passano per i punti di divisione di ordine pari (2, 4, 6) di AB, si ottengono, nelle loro intersezioni con la circonferenza, i punti G, F, E, L, I, H, che, col punto A, costituiscono i vertici del poligono richiesto.

b – Caso che n sia pari (per esempio 10) – Si opera, come nel caso precedente con la differenza che dai punti C e D si conducono le semirette che passano per i punti di divisione di ordine dispari (1, 3, 5, ecc.).