COSTRUZIONE DELLE TANGENZE

TANGENZE

Si sa dalla geometria elementare che una curva l ed una retta a possono avere in comune più punti (retta secante la curva), un solo punto in comune (retta tangente alla curva), nessun punto in comune (retta esterna alla curva) (vedi fig. 24).

Un solo punto in comune, retta tangente alla curva – Nel punto in comune alla retta ed alla curva passa la normale, che risulta, appunto, perpendicolare (formante un angolo di 90°) alla tangente a nel punto P della curva.

Detta perpendicolare definita pocanzi “normale” alla curva passa per il centro di curvatura c della curva data.

Due curve l e l₁si dicono tangenti in un punto P quando in quel punto ammettono la stessa retta tangente a e quindi di conseguenza la stessa normale r (vedi fig. 25).

Un caso particolare di tangenza si ha quando la curva l ammette un punto in comune con la retta di un piano al quale la curva appartiene, però non al finito bensì, come si dice, all’infinito.

In altri termini, la curva tende alla retta del piano avvicinandosi sempre più per avere un punto in comune ma non la tocca in un punto finito del piano, bensì, come si è detto prima, all’infinito.

Questo particolare caso di tangenza si riscontra in alcuni problemi di costruzioni di curve particolari, del resto già considerati nel caso della iperbole e della parabola. Infatti si è definita, nel caso della iperbole, “Asintoto” la retta tangente alla iperbole nel suo punto all‘infinito.

Concludo col definire cosi “asintoto” di una curva la tangente alla curva in un punto all’infinito (vedi fig. 26).

Saranno trattati, qui di seguito, quei casi di tangenza che trovano più frequente applicazione nell’esecuzione di disegni tecnici.

Condurre ad un cerchio di dato raggio una tangente in un suo punto N – Tracciato il cerchio di dato raggio con centro O, per il punto N si disegni la perpendicolare al diametro ON passante per il punto N (vedi fig. 27). – La retta t è la tangente richiesta.

Condurre le tangenti ad un cerchio da un punto N esterno al cerchio stesso (vedi fig. 28) – Si unisca il punto dato N con il centro O del cerchio; dal punto M di mezzeria del segmento NO, si tracci un arco di circonferenza di centro M e raggio MN; detto arco di circonferenza intersecherà il cerchio dato nei punti T₁e T₂ i quali rappresentano i punti in comune tra il cerchio e le tangenti a questo condotte dal punto M. Le rette t₁ e t₂ congiungenti i punti T₁e T₂ con il punto N sono le tangenti richieste.

Costruzione dell’iperbole equilatera per inviluppo di tangenti (vedi fig. 29).

Descrivere un arco di circonferenza tangente a tre rette date formanti due angoli α e β (vedi fig. 30) – Si conducano le bisettrici dei due angoli α e β che si incontrano in E. Da E si abbassi una perpendicolare EF sulla retta a; EF sarà il raggio dell’arco di circonferenza tangente alle tre rette date a, b, c.

Tracciare un cerchio tangente ad una retta AB e passante per i punti D e C (vedi fig. 31) – Da D per C si conduca una retta indefinita fino ad incontrare la retta data AB nel punto N.

Si divida ND per metà in O e con raggio uguale OD si descriva il semicerchio. Da C s’innalzi una perpendicolare alla DN che incontrerà il semicerchio in E.

Col centro in N si porti il punto E sulla AB in F. Dalla metà della DC e dal punto F si conducano delle perpendicolari che si taglieranno in G.

GF sarà il raggio del cerchio tangente in F alla retta data e che passerà per i punti D e C assegnati.

Dato un angolo ABC tracciare un numero indefinito di cerchi che siano tangenti ai lati dell’angolo (vedi fig.
32) – Si conduca la NB bisettrice dell’angolo dato e da un punto E preso sopra tale bisettrice si abbassi su uno dei due lati una perpendicolare ED; questa sarà il raggio del primo cerchio.

Dal punto F, dove la circonferenza taglierà la bisettrice, s’innalzi una perpendicolare alla bisettrice che incontrerà il lato dell’angolo BG in G.

Col centro in G e raggio GF si descriva un arco fino ad H.
Da H si innalzi una perpendicolare che incontrerà la BN in l; sarà il punto l il centro del nuovo cerchio il cui raggio è l H.
Se si desiderano più cerchi tangenti ai lati dell’angolo non resta che applicare l’identica costruzione.

Tracciare due tangenti comuni a due cerchi di assegnati raggi r₁ ed r₂(vedi fig. 33) – A e B, centri dei due cerchi, si uniscano con una retta; si descriva colla differenza dei raggi r₁ ed r₂nel cerchio di raggio maggiore un altro cerchio.

Si tracciano da B due tangenti a quest’ultimo cerchio con la costruzione già descritta.
Si tracci da A per D ed E dei raggi alla circonferenza del cerchio con raggio maggiore in F e G.
Da B si conducano due raggi paralleli ed AF ed AG che saranno BH e BI.
Per F e per H si conduca una retta; per I e G si faccia lo stesso; queste saranno le tangenti richieste.

Tracciare due tangenti interne comuni a due cerchi di date raggio (vedi fig. 34) – Si uniscano i due centri A e B.
Da A e B si conducano due raggi paralleli BC e AD in senso opposto.
Si tracci la retta CD che incontrerà AB in I.
Si divida AI e BI per metà in b ed a e col raggio uguale alla rispettiva metà si descrivano due circonferenze che taglieranno quelle di centro A e B nei punti L.
Si conduca per L e K una retta e per M ed N un’altra; queste saranno le tangenti richieste.

Tracciare un arco o una circonferenza tangente a due cerchi di vario raggio, sapranno dei quali è dato il punto c di contatto (vedi fig. 35) – A e B siano i cerchi dati, A abbia il punto C.
Da C per A si conduca una retta indefinita.
Col raggio della circonferenza B si faccia centro in C e descrivasi un arco che tagli la retta indefinita in D.
Si unisca D col centro B; sulla metà di BD si tracci una perpendicolare sino all’incontro della CD in F; col centro F ed il raggio FC si descriva l’arco che sarà la tangente richiesta.