PROIEZIONI ASSONOMETRICHE - Blog di pociopocio

CENNI SULLE PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Caratteri generali

Le proiezioni ortogonali, come abbiamo visto nei capitoli precedenti, disegnano del pezzo tre viste o più (quando è il caso), separate e distinte; ognuna pensata su un piano, in modo che una visione d’insieme del pezzo viene a mancare nella rappresentazione di un oggetto. A ciò si ovvia con la rappresentazione di uno “schizzo” (1) d’insieme del pezzo.

La rappresentazione d’insierhe del pezzo o “prospettiva” mostra questo all’osservatore in modo verosimiglianza alla realtà, cioè simile a come appare nello spazio reale all’osservatore. La rappresentazione prospettica degli oggetti ha per scopo, quindi, di produrre nell’osservatore, per quanto è possibile, la sensazione della realtà di un oggetto.

La geometria proiettiva è quella disciplina che s’interessa dei principi informatori riguardanti tali problemi e, tra l’altro, tratta la rappresentazione prospettica degli oggetti.
Accenneremo semplicemente, in modo del tutto informativo, ai metodi inerenti alla rappresentazione prospettica.

(1) Con il termine “schizzo” s’intende una rappresentazione approssimativa quotata eseguita a volte a mano libera.

Rappresentazione in prospettiva

La rappresentazione prospettica di un oggetto si ottiene ricorrendo al sezionamento di un cono ottico, con un piano detto “quadro” (Q.P.). Il cono ottico è l’insieme dei raggi visivi che proiettano da un centro, “centro ottico” o “punto di vista”, gli infiniti punti di cui si pensa formato un oggetto.

La figura sezione ottenuta sezionando il cono ottico con il quadro è la “prospettiva” dell’oggetto.

Il centro ottico, che è il vertice del cono ottico, corrisponde nella realtà all’occhio dell’osservatore e “viene indicato anche come “punto di vista”. Secondo che il punto di vista (P.V.) o centro di proiezione è un punto al finito o un punto all’infinito, la prospettiva assume caratteri differenti e dà dell’oggetto rappresentazioni diverse.

Nel caso che il punto di vista (P.V.) sia un puntò al finito si ha la prospettiva “centrale” o “conica” (vedi fig. 1). Nel caso in cui il punto di vista sia un punto all’infinito, si ha la “prospettiva parallela” o “assonometrica” (vedi fig. 2).

Prospettiva parallela o assonometrica

Il primo metodo non lo tratteremo poiché interessa più la rappresentazione artistica, e difficilmente trova una pratica applicazione nel disegno meccanico.

Il secondo metodo è invece frequentemente applicato per la rappresentazione degli oggetti nel disegno meccanico. Il metodo di rappresentazione della prospettiva parallela o assonometrica si applica quasi sempre nell’esecuzione di schizzi quotati in quanto richiede costruzioni rapide e semplici rispetto a quelle della prospettiva centrale o conca. Inoltre si completa la rappresentazione dell’oggetto disegnato in proiezione ortogonale con una vista assonometrica sempre per raggiungere una maggiore chiarezza del disegno del pezzo e per dare di questo una vista d’insieme.

La vista assonometrica di un pezzo è di grande aiuto in officina e per gli operai e per i tecnici in generale in quanto mette bene in evidenza il ”complessivo” del pezzo.

La vista assonometrica evita dubbi nella lettura del disegno delle viste e facilita lo sforzo di immaginazione, non sempre facile ed immediato, che si deve fare per risalire dalle viste delle proiezioni del pezzo che sono parziali e staccate all’insieme. La vista assonometrica, a volte, si rende indispensabile nella rappresentazione di particolari organi meccanici e in special modo quando si vogliono individuare a “vista” alcuni particolari costruttivi o eventuali sezioni pensate effettuate sul pezzo o ancora specifici procedimenti tecnologici o di lavorazione.

L’insieme di tutte le operazioni che si prevedono per la realizzazione del pezzo in officina si possono, in altri termini, efficacemente evidenziare solo in una vista assonometrica.

Gli elementi fondamentali della prospettiva parallela o assonometrica

Gli elementi fondamentali dell’assonometria, riportati nella figura 3, sono:

a – terna di assi cartesiani ortogonali di riferimento uscenti da un punto O (origine): x, y e z
b – il quadro: XYZ
c – la giacitura del quadro rispetto alla terna di riferimento: α , β , ɣ
d – la direzione secondo la quale, partendo dal centro di proiezione all’infinito; viene effettuata, la proiezione: r.

Riepilogando:
– (x, y, z) terna di assi di riferimento;
– (X, Y, Z) quadro;
– (α , β , ɣ) giacitura del quadro rispetto ai piani di riferimento (XZO, YZO, YXO);
– (r) direzione della proiezione.
Quando la direzione della proiezione r, è perpendicolare al quadro, la assonometria viene denominata “prospettiva parallela ortogonale”.
Negli altri casi si ha la “prospettiva parallela obliqua”.
È chiaro che l’oggetto di cui noi vogliamo disegnare la prospettiva o assonometria si immagina tra la terna di riferimento x, y, z ed il quadro.

I sistemi della proiezione assonometrica

Al variare degli elementi fondamentali elencati nel paragrafo precedente si hanno diversi sistemi assonometrici.
I sistemi assonometrici si raggruppano nel modo seguente:
a – Sistema Trimetrico:
b – Sistema Dimetrico;
c – Sistema Isometrico.
I sistemi assonometrici si differenziano tra loro al variare delle giacitura del quadro rispetto alla terna di riferimento x, y, z una volta scelta la direzione di proiezione (1).

Consideriamo ora la proiezione dei tre assi di riferimento x y e z sul quadro effettuare secondo la direzione di proiezione scelta.

Basta allora proiettare secondo tale direzione l’origine della terna di assi O in O’ e congiungere questo con i punti X, Y, e Z di intersezione degli assi con il quadro come in figura 4.

Avremo sul quadro in tal modo gli assi x’, y’ e z’, proiezioni di x, y e z.

La terna di assi x’, y’ e, z’ formata dai tre assi giacenti sul quadro determina gli angoli α , β , ɣ che varieranno ogni qual volta varierà la posizione del quadro rispetto agli assi di riferimento.

Come è facile intuire, al variare della giacitura del quadro che resta definita per ogni posizione possibile dai tre angoli α , β , ɣ formati dal quadro con i rispettivi piani di riferimento (vedi fig. 3) variano i tre angoli α’ , β’ , ɣ‘ formati dagli assi x’, y’ e z’ proiezioni di x, y e z sul quadro.

Si ha un sistema di assonometria trimetrico se i tre angoli α’ , β’ , ɣ‘ sono diversi tra loro: α’ ≠ β’ ≠ ɣ‘

Si ha un sistema di assonometria dimetrico se due dei tre angoli α’ , β’ e ɣ‘ sono uguali: α’ = β’ ≠ ɣ‘….. α’ ≠ β’ = ɣ‘….. α’ = ɣ‘ ≠ β’

Si ha il sistema di assonometria isometrico se i tre angoli α’ , β’ e ɣ‘ sono tra loro uguali: α’ = β’ = ɣ‘

(1) il quadro resta individuato nello spazio dagli angoli α , β , ɣ – formati con i piani di riferimento o, ciò che è lo stesso, dagli angoli che le intersezioni del quadro con i piani di riferimento formano con gli assi di riferimento x, y e z.

Osservazioni sulla prospettiva “parallela e assonometrica”

Essendo nelle proiezioni prese in considerazione il centro di proiezione all’infinito, il metodo della prospettiva parallela o assonometrica si rende particolarmente adatto per la rappresentazione di elementi di dimensioni ridotte, come ad esempio gli organi di macchina. Ciò perché rispetto alla grandezza degli organi di macchina, il centro di proiezione può essere, senza commettere un grosso errore, considerato ad una distanza notevole tale da essere, in proporzione alle dimensioni degli elementi disegnati, considerato praticamente all’infinito.

D’altra parte la prospettiva parallela o assonometrica deforma alquanto i pezzi in modo però accettabile, trattandosi come si è detto di oggetti di dimensioni relativamente piccole quali gli organi di macchina.
In pratica la vista assonometrica serve solo di ausilio alle viste disegnate in proiezione ortogonale aiutando il tecnico o l’operaio nella visione del pezzo.

“Sono le viste disegnate in proiezione ortogonale a stabilire ogni dimensionamento reale ed ogni articolare esecutivo“.

Prospettiva parallela obliqua detta “Cavaliera”

Per la opportuna scelta della reciproca posizione della terna di assi di riferimento x, y, z ed il quadro, la terna proiettata x’, y’, z‘, può avere i due assi x’ e z’ perpendicolari tra loro come nella figura 5.

Fonte video: YouTube – Federica Caldi

Qualora tale condizione si verifichi, l’assonometria si dice “Cavaliera” dal nome dello studioso Bonaventura Cavalieri (Milano, 1598 – Bologna, 30 novembre 1647) che per primo trattò il caso.

D’altra parte l’asse y’ può formare con l’asse x’ angoli qualsiasi (1) e quindi, ferma restante la condizione di ortogonalità dell’asse x’ e z’, si possono avere infinite assonometrie Cavaliera secondo gli infiniti angoli che l’asse y’ può formare con l’asse x’.

(1) Nel caso della figura 5 l’asse y’ forma con l’asse x’ un angolo β’ = 135° o, ciò che è lo stesso, di 45° essendo quest’ultimo il supplementare di 135°.

Bonaventura Cavalieri studiò tre casi fondamentali riportati qui nella figura 6.

– caso a: l’asse y’ forma con l’asse x’ l’angolo di 150°
– caso b: l’asse y’ forma con l’asse x’ l’angolo di 135°
– caso c: l’asse y’ forma con l’asse x’ l’angolo di 120°

È chiaro che possiamo a volte per comodità (come è stato già detto nella nota (1) nel capitolo precedente), indicare gli angoli supplementari che y’ forma con x’ e quindi avremo:
– caso a: l’asse y’ forma con l’asse x’ l’angolo di 30°
– caso b: l’asse y’ forma con l’asse x’ l’angolo di 45°
– caso c: l’asse y’ forma con, l’asse x’ l’angolo di 60°.

Nel linguaggio corrente si dice che si hanno dell’assonometria Cavaliera tre tipi: quella a 30°, quella a 45° e quella a 60°. Le norme UNI consigliano delle tre quella a 45° che è la più significativa per la rappresentazione in quanto dà dell’oggetto un disegno poco deformato.

Vogliamo ora ricordare che la Cavaliera 30° è una assonometria trimetrica, quella a 45° una assonometria di metrica e, infine, la Cavaliera 60° è una assonometria trimetrica come risulta dall’analisi degli angoli della figura 7.

Nella figura 8 si è riportato lo schema corrente con il quale si indicherà in seguito quale sistema assonometrico si è scelto per la rappresentazione dell’oggetto.

Rapporto di riduzione tra grandezze assonometriche e grandezze reali

Esiste per ogni assonometria o meglio per ogni sistema assonometrico un rapporto prestabilito tra le grandezze assonometriche, ossia quelle che si riportano lungo i tre assi x’, y’ e z’ della terna assonometrica scelta, e quelli effettivi corrispondenti dell’oggetto.

Si sa dalla trigonometria che, fissati degli angoli ( α , β , ɣ) e delle grandezze sottese da tali angoli (grandezze assonometriche e grandezze reali), esistono dei rapporti costanti tra queste ultime grandezze e gli angoli; tali che per ogni valore degli angoli restano definite le grandezze stesse. Tali calcoli esulano dai limiti di questo mio articolo e d’altra parte non hanno alcuna importanza per quanto concerne lo scopo che tale corso si prefigge e cioè quello di dare i concetti informatori della rappresentazione assonometrica.

Riporteremo di seguito una tabella che elenca i rapporti tra grandezza assonometrica e grandezza reale in funzione delle particolari terne di angoli α’ , β’ e ɣ‘ che si usano più frequentemente.

Bisogna chiarire subito, a proposito dei rapporti delle grandezze assonometriche e reali dell’oggetto, che tali rapporti, qualunque sia la terna di angoli α’ , β’ e ɣ‘ che si sceglie, sono sempre minori di 1 o al massimo uguali ad 1.

In altri termini, rapportando le grandezze assonometriche a quelle reali dell’oggetto si hanno valori minori o al massimo uguali ad 1. Questi valori definiscono i “coefficienti riduttori”‘che tratteremo in seguito.

Questo perché, essendo le proiezioni assonometriche proiezioni con il centro di proiezione all‘infinito, sul quadro possiamo avere proiezioni dell’oggetto più piccole o uguali, come dimensioni, all’oggetto. .

Nei capitoli che seguono verrà esposto ogni particolare di impostazione e di esecuzione di un’assonometria, riportando la tabella dei valori di tutti i rapporti inerenti ai sistemi assonometrici più usati, necessaria per l’esecuzione dell’assorìometria.

(1) Si sono indicate con u_x’ , u_y_‘ , u_z’ le unità assonometriche e con le unità x y z reali dell’oggetto.

Prima di passare a come si esegue un‘assonometria, definiamo i coefficienti riduttori.

Coefficienti riduttori

I coefficienti riduttori sono numeri adimensionali che stano a precisare il rapporto esistente tra le grandezze assonometriche e quelle reali dell’oggetto. I coefficienti riduttori sono tre poiché tre sono gli assi assonometrici (x’, y’ e z’) e tre sono le dimensioni che definiscono un oggetto reale.
I tre coefficienti riduttori vengono definiti dei simboli:dove u_x’ , u_y_‘ , u_z’ indicano le dimensioni delle grandezze assonometriche lungo gli assi x’, y’, z’ ed x, y , z le dimensioni reali dell’oggetto.

È evidente che per ogni sistema assonometrico esistono tre coefficienti riduttori. Si dicono intanto riduttori perché sono numeri minori di 1 per i quali bisogna moltiplicare la dimensione reale prima di riportarla sull’asse corrispondente dell’assonometria.

I coefficienti riduttori, come abbiamo detto, sono valori. sempre minori al massimo uguali a 1.

Tabella dei valori dei sistemi assonometrici

La prima colonna della tabella indica il sistema assonometrico, la seconda colonna riporta per ogni sistema assonometrico i valori dei rapporti delle grandezze assonometriche, cioè u_x’ , u_y_‘ , u_z’stabiliscono cioè il rapporto tra le unità assonometriche tra loro.

Ad esempio: 1 : 1 : 1 sta a significare che le unità assonometriche u_x’ , u_y_‘ , u_z’ stanno tra loro nello stesso rapporta.

Non vanno confusi con i coefficienti riduttori dell’ultima colonna che definiscono, invece, per ogni asse, il rapporto dimensionale tra grandezze assonometriche riportate lungo quell’asse e le grandezze, effettive, corrispondenti in quella direzione all’oggetto reale.

La terza colonna riporta gli angoli α’ , β’ , ɣ‘ che i tre assi x’, y’ z’ formano a due a due tra loro.
La quarta colonna riporta i coefficienti riduttori.
È bene ripetere che i coefficienti riduttori rappresentano quei numeri per i quali vanno moltiplicate le dimensioni reali dell’oggetto prima che queste vengano riportate rispettivamente lungo i tre assi assonometrici.

TABELLA DEI VALORI DI SISTEMI ASSONOMETRICI

Come abbiamo accennato senza darvi eccessiva importanza al significato dei valori di detta tabella; così ora dobbiamo sottolineare l’importanza; dell’uso di questi valori della tabella ai fini di una buona esecuzione dell’assonometria. Come si può rilevare, sempre dalla tabella, riportiamo delle tre Cavaliera (30°, 45° e 60°) i valori inerenti solamente alla dimetrica di 45°, così delle possibili trimetriche una solamente è citata dalla tabella proprio perché l’esperienza e le norme UNI consigliano di usare di tutte le possibili assonometrie previste nei tre sistemi, solamente la Cavaliera 45° e la isometrica.

La scelta operata dalle norme UNI è basata sulla esperienza e sulla più semplice esecuzione che tali sistemi assonometrici presentano e quindi sulla rapidità di esecuzione. Non va dimenticato che la scelta dei due sistemi isometrico o Cavaliera 45° è scaturito anche dall’analisi fatta sugli effetti che si raggiungono con l’uso di questi due sistemi rispetto agli altri, i quali poco si adattano alla rappresentazione di pezzi meccanici.