PROIEZIONI ORTOGONALI

Preliminari

La geometria descrittiva è la scienza che insegna a rappresentare su di una superficie un oggetto posto nello spazio. I metodi di rappresentazione permettono di ricostruire, senza perplessità di sorta, in grandezza e posizione l’oggetto reale e viceversa, dato l’oggetto reale, tracciarne la relativa rappresentazione.

Le applicazioni delle rappresentazioni interessano particolarmente quei tecnici (ingegneri, architetti, disegnatori) i quali devono rappresentare in modo chiaro ed inequivocabile, mediante disegni, determinate strutture, in modo che all’esame di detti disegni si possa avere l’esatta conoscenza della forma, delle dimensioni e delle diverse parti costituenti la struttura stessa. Simbologie unificate, completeranno le rappresentazioni delle strutture dal punto di vista tecnologico e di lavorazione.

Proiezione ortogonale

Fra i metodi di rappresentazione considerati dalla Geometria descrittiva, quello che più trova applicazione nella tecnica produttiva è la rappresentazione basata sulla “Proiezione Ortogonale” o metodo di Monge che fu appunto lo studioso francese che se ne occupò per primo studiando nei principi informatori.

Proiezione ortogonale di un punto

Per proiezione ortogonale di un punto sopra un piano si definisce l’intersezione della perpendicolare abbassata dal punto sul piano. Dalla definizione stessa si può dedurre che il segmento di perpendicolare che va dal punto reale al piano α misura la distanza del punto dal piano.

Per esempio se A (vedi fig. 1) è un punto obiettivo, e da questo si abbassa la perpendicolare su un piano α, il piede A’ (intersezione della perpendicolare passante per il punto A con il piano α) è la proiezione ortogonale del punto A sul piano α.

La perpendicolare AA’ dicesi raggio proiettante o semplicemente “proiettante’.”, ed il piano α dicesi piano di proiezione. Ad un punto reale od obiettivo A corrisponde, come proiezione ortogonale su un piano dato α, uno ed uno solo come punto di proiezione A’; viceversa, ad un punto A’ fissato sul piano α di proiezione non corrisponde un solo punto reale od obiettivo A dello spazio. Ciò perché il punto A’ è proiezione ortogonale sul piano di tutti i punti della retta condotta per A’ normalmente al piano α.

In altri termini un punto dello spazio non resta determinato dalla sua proiezione ortogonale su un piano α.

Per determinare un punto dello spazio, occorre un sistema di “tre piani di proiezioni”.

Si considerino infatti tre piani tra loro ortogonali (un triedro retto), ed un punto obiettivo A; si determinino le proiezioni (intese sempre ortogonali) del punto su questi tre piani; siano esse A’, A” ed A'” rispettivamente le proiezioni su α₁ , α₂ , ed α₃ (vedi fig. 2).

Evidentemente, dato il punto obiettivo A ed il sistema dei tre piani α₁ , α₂ , ed α₃; al punto obiettivo A corrisponde una terna di punti A’, A”, A'” proiezioni ortogonali del punto A, sui piani e viceversa, data nei tre piani α₁ , α₁ , ed α₃ la terna dei punti A’, A”, A'” . (in maniera tale che tracciando per essi le proiettanti ortogonali ai piani relative ad ogni punto proiezione) corrisponde uno ed un solo punto reale A dello spazio determinato appunto dalla intersezione delle rette proiettanti passanti per A’, A”, A'”.

Piani di proiezione

Teoricamente i piani di proiezione fra loro ortogonali possono essere comunque disposti nello spazio (vedi fig. 3), praticamente se ne assume uno secondo la giacitura orizzontale e quindi gli altri due verticali.

Il primo dicesi giano “orizzontale”; gli altri due “verticale” e “laterale” (vedi fig; 4).

I tre piani considerati individuano un triedro retto. Si considererà, per semplicità di esposizione, lo spazio convesso racchiuso dai tre piani, come spazio in cui verranno pensate disposte le figure obiettive di cui vogliamo disegnare le proiezioni.

L‘insieme delle proiezioni dei punti di una figura obiettiva sul piano orizzontale dicasi “proiezione orizzontale” o “prima proiezione”. In termini più tecnici si usa la terminologia di “prima vista” o “pianta” della figura. L’insieme delle proiezioni dei punti di una figura obiettiva sul piano verticale dicesi ”proiezione verticale” o “seconda proiezione”.

In termini più tecnici si usa la dizione di “seconda vista” o “prospetto” della figura. L’insieme delle proiezioni dei punti di una figura obiettiva sul piano laterale dicesi “proiezione laterale” o “terza
proiezione”. In termini più tecnici si usa dire “‘terza vista” o “profilo” della figura.
L’intersezione del piano orizzontale con‘ il piano verticale dicesi “Linea di terra” e si indica con le prime due lettere maiuscole (L. T.).

Durante lo svolgimento degli argomenti si indicherà con una lettera maiuscola un punto reale o obiettivo, con la stessa lettera munita di un apice per la rappresentazione della sua proiezione orizzontale, con due apici per la proiezione verticale e con tre apici quella laterale.

Proiezioni di un punto

Da quanto si è detto risulta che le tre proiezioni di un punto obiettivo A (A’, A”, A'”) si trovano su tre piani distinti e mutuamente ortogonali tra loro (vedi fig. 5) (1).

Praticamente però occorre che le tre proiezioni siano disposte in uno stesso piano (foglio del disegno) in modo tale che esse possano costituire nel loro insieme una figura piana.

Per realizzare tale condizione, cioè di passare dalla figura spaziale (a tre dimensioni) a quella piana (a due dimensioni) si operano due ribaltamenti di piani.

(1) Le proiettanti AA’, AA”, A'” dovrebbero essere disegnate con delle linee tratteggiate, così come le rette parallele alle dette proiettanti, ma possono essere anche delle linee continue perché sottili rispetto alle linee di contorno dell’oggetto. Si preferisce disegnarle continue e sottili perché di più facile e rapida esecuzione.

Ribaltamenti dei piani di proiezione

Supponiamo di far ruotare il piano orizzontale di 90° secondo il verso delle frecce indicato nella figura 6 intorno alla linea di terra (L. T.) fino a disporlo sul prolungamento del piano verticale il quale resta fisso.

A rotazione avvenuta i piani di proiezione si presentano come in figura 7.

Supponiamo ora di far ruotare anche il piano laterale di 90° come indicano le frecce nella figura 8; a rotazione avvenuta i piani di proiezione .si presenteranno come in figura 9.

In definitiva a ribaltamento avvenuto di 90° dei piani orizzontale e laterale su quello verticale, la figura spaziale dei tre piani di proiezioni (vedi fig. 6) si riduce ad una sola figura piana come quella disegnata nella figura 9.
Evidentemente, ruotando i piani orizzontale e laterale ruoteranno le relative proiezioni A’, A” ed A'” fino a disporsi come in figura 10.

Nelle applicazioni si evita di disegnare il perimetro delimitante la superficie dei piani di proiezioni perché non ha interesse alcuno, di modo che si ha in definitiva, per la rappresentazione delle proiezioni del punto obiettivo A, il disegno della figura 11.

Analizziamo ogni elemento di questa figura e da quello che abbiamo detto, precisiamone il significato.

a – La retta L. T. (Linea di Terra) rappresenta l’intesezione, del piano “verticale con l’orizzohtale.

b – La oretta KO rappresenta l’intersezione del piano verticale con quello laterale.

c – Il segmento HA” rappresenta la distanza del punto reale A dal piano orizzontale quindi ne individua la “quota”.

d – Il segmento HA’ rappresenta la distanza del punto reale A dal piano verticale quindi ne individua l’aggetto o sporgenza.

e – Il segmento KA” rappresenta la distanza del punto reale A dal piano laterale, quindi ne individua il secondo “aggetto” o seconda sporgenza.

f – Il segmento KA'” risulta per costruzione uguale ad HA’ quindi è uguale al primo “aggetto”.

In conclusione ogni segmento della figura 11 sta a rappresentare una condizione alla quale il punto reale deve soddisfare e quindi ha un preciso significato nella rappresentazione.

Proiezioni del segmento

Dato che un segmento è individuato da un tratto di linea retta congiungente gli estremi del segmento stesso, per disegnare le proiezioni di un segmento basta disegnare le tre proiezioni di A e di B e poi congiungere rispettivamente le proiezioni verticale, orizzontale e laterale di A e B per avere le rispettive proiezioni del segmento.

Per chiarire meglio quanto detto si. riporta un esempio:

– disegnare le proiezioni del segmento AB.

Si disegnano prima le proiezioni del punto A; poi si disegnano le proiezioni del punto B (vedi fig. 12) ed infine congiungendo le proiezioni verticali, orizzontali, laterali di A e di B si hanno le proiezioni del segmento AB (1).

In generale la proiezione del segmento può eseguirsi con la solita convenzione cioè quella di immaginare il segmento AB reale disposto nello spazio racchiuso dal triedro retto formato dai tre piani di proiezione P.V. , P O. e P.L. e disegnare su questi le proiezioni rispettive una volta mandate per gli estremi del segmento le proiettanti.

La figura 12 mostra abbastanza chiaramente quanto detto, e precisa il caso di un segmento AB disposto parallelamente al piano verticale ed orizzontale. cioè parallelo alla Linea di Terra che è appunto l’intersezione di questi due piani.

(1) Si riporta a fianco della figura 12 il triedro retto con il segmento obiettivo AB per chiarezza di disegno e per abituarci alla visione contemporanea della figura nello spazio e di quella a ribaltamento avvenuto.

PROIEZIONI DEL SEGMENTO

Segmento AB normale a P.V. quindi parallelo al P.O. e al P.L.